Riemann surface
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以下是一些我们可以帮助您解决的问题：
仿射簇和射影簇：仿射簇和射影簇的定义、性质和分类，如代数簇的维度、奇异点的性质等。
态射和概型：态射的定义、性质和应用，概型的概念、构造和性质，如环上的概型、射影概型等。
切空间和余切空间：切空间和余切空间的定义和性质，切矢量和余切矢量的作用和计算。
仿射和射影坐标环：仿射和射影坐标环的定义和性质，坐标环的代数性质和几何性质。
代数曲线和代数曲面：代数曲线和代数曲面的定义和性质，代数曲线和曲面上的函数环和理想。
无论您面临的代数几何问题是什么，我们都会尽力为您提供专业的帮助，确保您的学习之旅顺利无阻！
Plane 1.1. The bases of a trapezoid are $a$ and $b$. Find the length of the segment that the diagonals of the trapezoid intersept on the trapezoid’s midline.
Solutions
1.1. a) Let $P$ and $Q$ be the midpoints of $A B$ and $C D$; let $K$ and $L$ be the intersection points of $P Q$ with the diagonals $A C$ and $B D$, respectively. Then $P L=\frac{a}{2}$ and $P K=\frac{1}{2} b$ and so $K L=P L-P K=\frac{1}{2}(a-b)$.
b) Take point $F$ on $A D$ such that $B F | C D$. Let $E$ be the intersection point of $M N$ with $B F$. Then
$$
M N=M E+E N=
$$
$$
\frac{q \cdot A F}{p+q}+b=\frac{q(a-b)+(p+q) b}{p+q}=\frac{q a+p b}{p+q}
$$
1.2. Prove that the midpoints of the sides of an arbitrary quadrilateral are vertices of a parallelogram. For what quadrilaterals this parallelogram is a rectangle, a rhombus, a square?
1.2. Consider quadrilateral $A B C D$. Let $K, L, M$ and $N$ be the midpoints of sides $A B$, $B C, C D$ and $D A$, respectively. Then $K L=M N=\frac{1}{2} A C$ and $K L | M N$, that is $K L M N$ is a parallelogram. It becomes clear now that $K L M N$ is a rectangle if the diagonals $A C$ and $B D$ are perpendicular, a rhombus if $A C=B D$, and a square if $A C$ and $B D$ are of equal length and perpendicular to each other.
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