Riemann surface
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统计物理学基础概念：涵盖统计物理学的基本概念，如统计力学、热力学等。
相变和临界现象：研究物质相变和临界现象的理论和实验方面。
随机过程和概率统计：探索与统计物理学相关的随机过程和概率统计的方法和应用。
平衡态和非平衡态统计物理学：介绍平衡态和非平衡态统计物理学的基本原理和方法。
量子统计物理学：研究与量子力学相结合的统计物理学理论和现象。
复杂系统和网络科学：探讨复杂系统和网络科学在统计物理学中的应用。
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P2.6 Using (2.36),
(a) Find the Helmholtz free energy $F$ of the DNA as a function of X. At what value of $X$ is the free energy minimum?
(b) By how much does the entropy change when the DNA is quasi-statically extended from $X=0$ to $X=L / 2$ at a fixed temperature $T$.
(c) If you increase the temperature slightly by $\Delta T$ with the extension force held fixed as $f$, how would the extension $X$ change?
P3.7 What are the Gibbs and Helmholtz free energies for the chain extended with the tension $f$ and the distance $X$ for the case $f \gg k_B T / l$ ?
Solution: Because $f=\frac{\partial F}{\partial X}$, we integrate the $(3.60)$ over $X$ to find the Helmholtz free energy
$$
F(X, T, N)=-N k_B T \ln {1-X /(N l)}
$$
where the irrelvant constant is omitted. On the other hand the Gibbs free energy is $G(f, T, N)=F(X, T, N)-f X \approx N\left{-f l+k_B T \ln \left(f l /\left(k_B T\right)\right)\right}$ where $F$ and $X$ are expressed as functions of $f$. Alternatively $G$ is directly obtained from the partition function expression
$$
G(f, T, N)=-N k_B T \ln \left{\frac{e^{\beta f l}-e^{-\beta f l}}{\beta f l}\right} \approx-N k_B T \ln \left{\frac{e^{\beta f f}}{\beta f l}\right}
$$
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