Riemann surface
matlab

还在面临预备微积分的学习挑战吗?别担心!我们的calculus-primer-guide团队专业为您解决函数、极限、导数等方面的问题。我们拥有深厚的专业背景和丰富的经验,能帮您完成高水平的作业和论文,让您的学习之路一帆风顺!

以下是一些我们可以帮助您解决的问题:

函数和图像:函数的定义、性质和分类,函数的图像和性态分析,如奇偶性、周期性等。

极限和连续性:极限的概念、性质和计算方法,函数的连续性和间断点的分类,如可导性和间断点的判定。

导数和微分:导数的定义和计算方法,函数的导数和微分的性质,如导数的运算规则、高阶导数等。

积分和面积:定积分和不定积分的概念、性质和计算方法,曲线下面积的计算,如积分的换元法、分部积分等。

微分方程:常微分方程的概念、基本类型和求解方法,如一阶微分方程、二阶线性微分方程等。

应用问题:微积分在物理学、经济学、工程学等领域的应用,如速度、加速度、优化问题等。

无论您面临的预备微积分问题是什么,我们都会尽力为您提供专业的帮助,确保您的学习之旅顺利无阻!

问题 1.

Show that the points $(2,1),(4,0)$, and $(5,7)$ are vertices of a right triangle.


Solution
The three points are plotted in Figure 8. Using the Distance Formula, you can find the lengths of the three sides as follows.
$$
\begin{aligned}
& d_1=\sqrt{(5-2)^2+(7-1)^2}=\sqrt{9+36}=\sqrt{45} \
& d_2=\sqrt{(4-2)^2+(0-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5} \
& d_3=\sqrt{(5-4)^2+(7-0)^2}=\sqrt{1+49}=\sqrt{50}
\end{aligned}
$$
Because
$$
\left(d_1\right)^2+\left(d_2\right)^2=45+5=50=\left(d_3\right)^2
$$
you can conclude by the Pythagorean Theorem that the triangle must be a right triangle.

问题 2.

Find the midpoint of the line segment joining the points $(-5,-3)$ and $(9,3)$.

Solution
Let $\left(x_1, y_1\right)=(-5,-3)$ and $\left(x_2, y_2\right)=(9,3)$.
$$
\begin{aligned}
& \text { Midpoint }=\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right) \quad \text { Midpoint Formula } \
& =\left(\frac{-5+9}{2}, \frac{-3+3}{2}\right) \quad \text { Substitute for } x_1, y_1, x_2 \text {, and } y_2 \text {. } \
& =(2,0) \quad \text { Simplify. } \
&
\end{aligned}
$$
The midpoint of the line segment is $(2,0)$, as shown in Figure 9.

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