Riemann surface
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还在面临电磁学的学习挑战吗?别担心!我们的electromagnetics-guide团队专业为您解决电场、磁场、电磁波等方面的问题。我们拥有深厚的专业背景和丰富的经验,能帮您完成高水平的作业和论文,让您的学习之路一帆风顺!

以下是一些我们可以帮助您解决的问题:

电场与电荷:电场的定义、性质和计算,电荷与电场之间的相互作用,如库仑定律和高斯定律等。

磁场与电流:磁场的定义、性质和计算,电流与磁场之间的相互作用,如安培定律和比奥-萨伐尔定律等。

电磁波与辐射:电磁波的性质和传播,如光的波动性和电磁波的干涉与衍射等。

电磁感应与电磁场能量:电磁感应现象和法拉第定律,电磁场能量的计算和应用,如电感和电磁振荡等。

麦克斯韦方程组:麦克斯韦方程组的推导和应用,如电磁波方程和电磁场的传播速度等。

电磁学的应用:电磁学在通信、电子技术、能源等领域的实际应用,如电磁感应应用于发电和电磁波应用于通信等。

无论您面临的电磁学问题是什么,我们都会尽力为您提供专业的帮助,确保您的学习之旅顺利无阻!

问题 1.

Exercise 1.3 The electric field of a traveling electromagnetic wave is given by
$$
E(z, t)=10 \cos \left(\pi \times 10^7 t+\pi z / 15+\pi / 6\right) \quad(\mathrm{V} / \mathrm{m})
$$
Determine (a) the direction of wave propagation, (b) the wave frequency $f$, (c) its wavelength $\lambda$, and (d) its phase velocity $u_{\mathrm{p}}$.


Solution:
(a) $-z$-direction because the signs of the coefficients of $t$ and $z$ are both positive.
(b) From the given expression,
$$
\omega=\pi \times 10^7(\mathrm{rad} / \mathrm{s})
$$
Hence,
$$
f=\frac{\omega}{2 \pi}=\frac{\pi \times 10^7}{2 \pi}=5 \times 10^6 \mathrm{~Hz}=5 \mathrm{MHz} .
$$
(c) From the given expression,
$$
\frac{2 \pi}{\lambda}=\frac{\pi}{15}
$$
Hence $\lambda=30 \mathrm{~m}$
(d) $u_{\mathrm{p}}=f \lambda=5 \times 10^6 \times 30=1.5 \times 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.


Fig. 1.1
(b) The total charge is
$$
\begin{aligned}
Q & =\int_{\text {all space }} \rho d V \
& =-\int_0^{\infty} \frac{\varepsilon_0 A b e^{-b r}}{r^2} \cdot 4 \pi r^2 d r+\int_{\text {all space }} 4 \pi \varepsilon_0 A \hat{i}(\mathbf{r}) d V^{\prime} \
& =4 \pi \varepsilon_0 A\left[e^{-b r}\right]_0^{\infty}+4 \pi \varepsilon_0 A \
& =-4 \pi \varepsilon_0 A+4 \pi \varepsilon_0 A=0 .
\end{aligned}
$$
It can also be obtained from Gauss’ flux theorem:

$$
\begin{aligned}
Q & =\lim {r \rightarrow \infty} \oint_S \varepsilon_0 \mathbf{E} \cdot d \mathbf{S} \ & =\lim {r \rightarrow \infty} \frac{\varepsilon_0 A e^{-b r}}{r^2} \cdot 4 \pi r^2 \
& =\lim _{r \rightarrow \infty} 4 \pi \varepsilon_0 A e^{-b r}=0,
\end{aligned}
$$
in agreement with the above.

问题 2.

Exercise 1.6 An electromagnetic wave is propagating in the $z$-direction in a lossy medium with attenuation constant $\alpha=0.5 \mathrm{~Np} / \mathrm{m}$. If the wave’s electric-field amplitude is $100 \mathrm{~V} / \mathrm{m}$ at $z=0$, how far can the wave travel before its amplitude will have been reduced to (a) $10 \mathrm{~V} / \mathrm{m}$, (b) $1 \mathrm{~V} / \mathrm{m}$, (c) $1 \mu \mathrm{V} / \mathrm{m}$ ?

Solution:
(a)
$$
\begin{aligned}
100 e^{-\alpha z} & =10 \
100 e^{-0.5 z} & =10 \
e^{-0.5 z} & =0.1 \
-0.5 z & =\ln 0.1=-2.3 \
z & =4.6 \mathrm{~m} .
\end{aligned}
$$
(b)
$$
\begin{gathered}
100 e^{-0.5 z}=1 \
z=\frac{\ln 0.01}{-0.5}=9.2 \mathrm{~m} .
\end{gathered}
$$
(c)
$$
\begin{aligned}
& 100 e^{-0.5 z}=10^{-6} \
& z=\frac{\ln 10^{-8}}{-0.5}=37 \mathrm{~m}
\end{aligned}
$$

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