Riemann surface
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非常感谢您对我们几何变换专家团队的信任！以下是一些关于几何变换的类似文字，可能会对您有所帮助。请注意，以下文献的引用信息是虚构的。
Smith, J. (2018). Introduction to Geometric Transformations. Oxford University Press.
这本教材是一本关于几何变换基础概念的入门书籍，涵盖了平移、旋转、缩放和仿射变换等内容。
Brown, A. (2019). Geometric Transformations and Applications. Wiley.
该书提供了更深入的几何变换内容，包括刚体变换、同构变换、投影变换和几何形状识别等。
Miller, R. (2020). Stochastic Methods in Geometric Transformations. Springer.
这本书将随机分析与几何变换相结合，探讨了随机平移、随机旋转和随机缩放等内容。
Johnson, L. (2021). Applications of Geometric Transformations in Engineering. Cambridge University Press.
该书介绍了几何变换在工程领域的应用，包括机械设计、视觉处理和图形渲染等方面。
Chen, H. (2022). Advanced Topics in Geometric Transformations: Homogeneous Transformations and Quaternions. MIT Press.
这本书深入研究了几何变换的高级主题，如齐次变换、四元数理论和变换矩阵等。
请注意，这些文献只是提供了一些关于几何变换的参考，您可能需要根据具体的研究或学习需求来选择适合您的资料。另外，如果您需要更具体的文献推荐或对特定主题的深入解释，请随时告诉我们，我们将竭诚为您提供帮助！
Example 1.1.2. Let $\alpha: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$ be defined by $\alpha(x, y)=\left(x^2, y\right)$, then show that $\alpha$ is a trans formation.
Solution: To show that $\alpha$ is a transformation, we shall check one to oneness and on toness of $\alpha$.
Let $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right) \in \mathbb{R}^2$.
Suppose $\alpha\left(\left(x_1, y_1\right)\right)=\alpha\left(\left(x_2, y_2\right)\right)$, then we want to show that $\left(x_1, y_1\right)=$ $\left(x_2, y_2\right)$ $\quad \alpha\left(\left(x_1, y_1\right)\right)=\alpha\left(\left(x_2, y_2\right)\right)$ implies $\left(x_1^2, y_1\right)=\left(x_2^2, y_2\right)$ $\quad \Rightarrow y_1=y_2$ and $x_1^2=x_2^2 \Rightarrow x_1 \neq x_2$. Thus $\left(x_1, y_1\right) \neq\left(x_2, y_2\right)$
Hence $\alpha$ is not one to one. So that $\alpha$ is not a transformation.
Example 1.1.5. 1) Let $\alpha: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2$, defined by $\alpha((x, y))=\left(x-1, \frac{1}{2} y\right)$, then show that $\alpha$ is a collineation.
2) Show that the mapping $\gamma$ that sends each points $(x, y)$ to $\left(-x+\frac{y}{2}, x+2\right)$ is a collineation.
Solution: 1) First show that $\alpha$ is a transformation. Let $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right) \in$ $\mathbb{R}^2$
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