还在面临泛函分析的学习挑战吗?别担心!我们的functional-analysis-guide团队专业为您解决函数空间、线性算子、完备性、泛函等方面的问题。我们拥有深厚的专业背景和丰富的经验,能帮您完成高水平的作业和论文,让您的学习之路一路顺风!

以下是一些我们可以帮助您解决的问题:

函数空间:各种函数空间的性质和特点,如连续函数空间、Lebesgue空间、Sobolev空间等。

线性算子:线性算子的定义、性质和作用,如有界线性算子、紧算子等。

范数和内积:泛函分析中常用的范数和内积的定义和性质,以及它们在空间中的应用。

完备性和紧集:完备性和紧集的概念及其在泛函分析中的重要性和应用。

泛函和对偶空间:泛函的定义和性质,以及对偶空间的概念和相关定理。

其他相关主题,如:泛函分析在物理、计算机科学、数学物理中的应用、量子场论、同胚定理等。

无论您面临的问题是什么,我们都会尽力为您提供专业的帮助,确保您的泛函分析学习之旅顺利无阻!

问题 1.

PROBLEM 5.8. Write out a proof (you can steal it from one of many places but at least write it out in your own hand) either for $p=2$ or for each $p$ with $1 \leq p<\infty$ that
$$
l^p=\left{a: \mathbb{N} \longrightarrow \mathbb{C} ; \sum_{j=1}^{\infty}\left|a_j\right|^p<\infty, a_j=a(j)\right}
$$
is a normed space with the norm
$$
|a|_p=\left(\sum_{j=1}^{\infty}\left|a_j\right|^p\right)^{\frac{1}{p}}
$$
This means writing out the proof that this is a linear space and that the three conditions required of a norm hold.

问题 2.

Problem 5.12. Consider the ‘unit sphere’ in $l^p$. This is the set of vectors of length 1 :
$$
S=\left{a \in l^p ;|a|_p=1\right}
$$
(1) Show that $S$ is closed.
(2) Recall the sequential (so not the open covering definition) characterization of compactness of a set in a metric space (e.g. by checking in Rudin’s book).
(3) Show that $S$ is not compact by considering the sequence in $l^p$ with $k$ th element the sequence which is all zeros except for a 1 in the $k$ th slot. Note that the main problem is not to get yourself confused about sequences of sequences!

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