Riemann surface
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以下是一些我们可以帮助您解决的问题：
有限元基础概念：涵盖元素、节点、形状函数等有限元方法的基本概念的定义、性质和分类。
有限元离散化：研究和应用于一维、二维、三维问题的有限元离散化方法。
证明与推理：常见的证明技巧和推理方法，如直接证明、归纳证明、反证法等。
有限元算法：有限元方法在算法设计和分析中的应用，包括元素装配、求解线性系统、后处理等。
误差和收敛：介绍有限元方法中的误差估计和收敛性分析。
有限元优化：针对有限元问题的建模和优化问题，例如网格优化、自适应有限元方法等。
有限元方法与工程应用：介绍有限元方法在各类工程领域的应用，例如结构分析、流体动力学、热传导等。
无论您面临的有限元方法问题是什么，我们都会竭尽全力提供专业的帮助，确保您的学习之旅顺利无阻！
Problem 1.3: Consider the simple pendulum of Example 1.3.1. Write a computer program to numerically solve the nonlinear equation (1.2.3) using the Euler method. Tabulate the numerical results for two different time steps $\Delta t=0.05$ and $\Delta t=0.025$ along with the exact linear solution.
.
Solution: In order to use the finite difference scheme of $\mathrm{Eq}$. (1.3.3), we rewrite (1.2.3) as a pair of first-order equations
$$
\frac{d \theta}{d t}=v, \quad \frac{d v}{d t}=-\lambda^2 \sin \theta
$$
Applying the scheme of Eq. (1.3.3) to the two equations at hand, we obtain
$$
\theta_{i+1}=\theta_i+\Delta t v_i ; \quad v_{i+1}=v_i-\Delta t \lambda^2 \sin \theta_i
$$
The above equations can be programmed to solve for $\left(\theta_i, v_i\right)$. Table P1.3 contains representative numerical results.
Problem 2.1: A nonlinear equation:
$$
\begin{gathered}
-\frac{d}{d x}\left(u \frac{d u}{d x}\right)+f=0 \quad \text { for } \quad 0<x<L \
\left.\left(u \frac{d u}{d x}\right)\right|_{x=0}=0 \quad u(1)=\sqrt{2}
\end{gathered}
$$
Solution: Following the three-step procedure, we write the weak form:
$$
\begin{aligned}
0 & =\int_0^1 v\left[-\frac{d}{d x}\left(u \frac{d u}{d x}\right)+f\right] d x \
& =\int_0^1\left[u \frac{d v}{d x} \frac{d u}{d x}+v f\right] d x-\left[v\left(u \frac{d u}{d x}\right)\right]_0^1
\end{aligned}
$$
Using the boundary conditions, $v(1)=0$ (because $u$ is specified at $x=1$ ) and $(d u / d x)=0$ at $x=0$, we obtain
$$
0=\int_0^1\left[u \frac{d v}{d x} \frac{d u}{d x}+v f\right] d x
$$
For this problem, the weak form does not contain an expression that is linear in both $u$ and $v$; the expression is linear in $v$ but not linear in $u$. Therefore, a quadratic functional does not exist for this case. The expressions for $B(\cdot, \cdot)$ and $\ell(\cdot)$ are given by
$$
\begin{aligned}
B(v, u) & =\int_0^1 u \frac{d v}{d x} \frac{d u}{d x} d x \text { (not linear in } u \text { and not symmetric in } u \text { and } v \text { ) } \
\ell(v) & =-\int_0^1 v f d x
\end{aligned}
$$
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