非常感谢您对我们动力系统专家团队的信任!以下是一些关于动力系统的类似文字,可能会对您有所帮助。请注意,以下文献的引用信息是虚构的。

Smith, J. (2018). Introduction to Dynamical Systems. Oxford University Press.
这本教材是一本关于动力系统基础概念的入门书籍,涵盖了相空间、微分方程、稳定性和混沌等内容。

Brown, A. (2019). Dynamical Systems and Applications. Wiley.
该书提供了更深入的动力系统内容,包括吸引子、分岔理论、Hamilton系统和控制系统等。

Miller, R. (2020). Stochastic Methods in Dynamical Systems. Springer.
这本书将随机分析与动力系统相结合,探讨了随机微分方程、噪声影响和随机共振等内容。

Johnson, L. (2021). Applications of Dynamical Systems in Engineering. Cambridge University Press.
该书介绍了动力系统在工程领域的应用,包括机械振动、电力系统稳定性和控制系统设计等方面。

Chen, H. (2022). Advanced Topics in Dynamical Systems: Chaos and Fractals. MIT Press.
这本书深入研究了动力系统的高级主题,如混沌理论、分形几何和复杂系统等。

请注意,这些文献只是提供了一些关于动力系统的参考,您可能需要根据具体的研究或学习需求来选择适合您的资料。另外,如果您需要更具体的文献推荐或对特定主题的深入解释,请随时告诉我们,我们将竭诚为您提供帮助!

问题 1.

PROBLEM SET 1.1
Let $x=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}=(x, y, z)^{\mathrm{T}}$ and $x(0)=\left(x_0 \cdot y_0, z_0\right)^{\mathrm{T}}$.

(a) $x(t)=x_0 e^t, y(t)=y_0 e^t$, and solution curves lie on the straight lines $y=\left(y_0 / x_0\right) x$ or on the $y$-axis. The phase portrait is given in Problem 3 below with $a=1$.
(b) $x(t)=x_0 e^t \cdot y(t)=y_0 e^{2 t}$, and solution curves. other than those on the $x$ and $y$ axes, lie on the parabolas $y=\left(y_0 / x_0^2\right) x^2$. Cf. Problem 3 below with $\mathrm{a}=2$.
(c) $\mathrm{x}(\mathrm{t})=\mathrm{x}_0 \mathrm{e}^{\mathrm{t}} \cdot \mathrm{y}(\mathrm{t})=\mathrm{y}_0 \mathrm{e}^{3 \mathrm{3}}$, and solution curves lie on the curves $\mathrm{y}=\left(\mathrm{y}_0 / \mathrm{x}_0^3\right) \mathrm{x}^3$.
(d) $\dot{x}=-y, \dot{y}=x$ can be written as $\ddot{y}=\dot{x}=-y$ or $\ddot{y}+y=0$ which has the general solution $y(t)=c_1 \cos t+c_2 \sin t$; thus, $x(t)=\dot{y}(t)=-c_1 \sin t+c_2 \cos t ;$ or in terms of the initial conditions $x(t)=x_0 \cos t-y_0 \sin t$ and $y(t)=x_0 \sin t+y_0 \cos t$. It follows that for all $t \in \mathbf{R}$, $x^2(t)+y^2(t)=x_0^2+y_0^2$ and solution curves lie on these circles. Cf. Figure 4 in Section 1.5.
(e) $y(t)=c_2 \mathrm{e}^{-t}$ and then solving the first-order linear differential equation $\dot{x}+x=c_2 \mathrm{e}^{-t}$ leads to $\mathrm{x}(\mathrm{t})=\mathrm{c}_1 \mathrm{e}^{-1}+\mathrm{c}_2 \mathrm{te}^{-1}$ with $\mathrm{c}_1=\mathrm{x}_0$ and $\mathrm{c}_2=\mathrm{y}_0$. Cf. Figure 2 with $\lambda<0$ in Section 1.5.


问题 2.

(a) $x(t)=x_0 e^t, y(t)=y_0 e^t, z(t)=z_0 e^t$. and $E^u=R^3$.
(b) $x(t)=x_0 \mathrm{e}^{-1}, y(t)=y_0 \mathrm{e}^{-1}, \mathrm{z}(\mathrm{t})=\mathrm{z}_0 \mathrm{e}^{\mathrm{t}}, \mathrm{E}^{\mathrm{s}}=\operatorname{Span}\left{(1,0,0)^{\mathrm{T}},(0,1,0)^{\mathrm{T}}\right}$, and $E^u=\operatorname{Span}{(0,0,1)}$. Cf. Figure 3 with the arrows reversed.
(c) $\mathrm{x}(\mathrm{t})=\mathrm{x}_0 \cos \mathrm{t}-\mathrm{y}_0 \sin \mathrm{t}, \mathrm{y}(\mathrm{t})=\mathrm{x}_0 \sin \mathrm{t}+\mathrm{y}_0 \cos t, \mathrm{z}(\mathrm{t})=\mathrm{z}_0 \mathrm{e}^{-t}$; solution curves lie on the cylinders $\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2=\mathrm{c}^2$ and approach circular periodic orbits in the $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ plane as $\mathrm{t} \rightarrow \infty$ : $\mathrm{E}^{\mathrm{c}}=\operatorname{Span}\left{(1,0,0)^{\mathrm{T}},(0,1 \cdot 0)^{\mathrm{T}}\right} \cdot \mathrm{E}^{\mathrm{s}}=\operatorname{Span}\left{(0,0,1)^{\mathrm{T}}\right}$.

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