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不必忧虑！我们的抽样调查专家团队会以相同的承诺为您解决问题。我们拥有广泛的专业知识和丰富的经验，可以帮助您应对在抽样调查学习中遇到的各种困难。无论是复杂的作业还是论文，我们都有能力为您提供协助，确保您在学习过程中取得顺利的进展！
以下是一些我们可以帮助您解决的问题：
抽样调查的基本概念：包括抽样调查的基础知识，如总体、样本、参数和统计量等。
抽样方法和设计：探究各种抽样方法，包括随机抽样、系统抽样、分层抽样和整群抽样，以及如何设计一个有效的抽样方案。
数据收集和数据处理：介绍在抽样调查中如何进行数据收集和数据处理，包括调查问卷的设计和调查数据的清洗。
抽样误差和非抽样误差：研究抽样误差和非抽样误差的概念，以及如何减少这些误差。
样本估计和假设检验：研究如何通过样本数据对总体参数进行估计和假设检验，包括点估计、区间估计和各种假设检验方法。
抽样调查的案例分析：介绍一些实际的抽样调查案例，包括成功的和失败的，以及从中可以学到的经验和教训。
复杂抽样设计：探讨更复杂的抽样设计，如多阶段抽样和抽样权重的计算。
无论您在抽样调查方面遇到什么问题，我们都会全力为您提供专业的帮助，确保您的学习之路顺利无阻！
Exercise 1 (Simple random sampling):
Let there be two correlated random variables $X$ and $Y$. A sample of size $n$ is drawn from a population by simple random sampling without replacement. The observed paired sample is $\left(X_i, Y_i\right), i=1,2, \ldots, n$. If the sample totals are $\hat{X}{\text {tot }}=\frac{N}{n} \sum{i=1}^n X_i, \hat{Y}{\text {tot }}=\frac{N}{n} \sum{i=1}^n Y_i$, then find the covariance between $\hat{X}{\text {tot }}$ and $\hat{Y}{\text {tot }}$.
Solution:
The covariance between $X_{\text {tot }}$ and $Y_{\text {tot }}$ is
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}\left(\hat{X}{t o t}, \hat{Y}{t o t}\right) & =E\left[\left{\hat{X}{\text {tot }}-E\left(\hat{X}{t o t}\right)\right}\left{\hat{Y}{\text {tot }}-E\left(\hat{Y}{\text {tot }}\right)\right}\right] \
& =E\left(\hat{X}{\text {tot }} \hat{Y}{\text {tot }}\right)-E\left(\hat{X}{\text {tot }}\right) E\left(\hat{Y}{\text {tot }}\right) .
\end{aligned}
$$
Note that
$$
\begin{gathered}
E\left(\hat{X}{\text {tot }}\right)=X{\text {tot }}=\sum_{i=1}^N X_i=N \bar{X} \
E\left(\hat{Y}{\text {tot }}\right)=Y{\text {tot }}=\sum_{i=1}^N Y_i=N \bar{Y} \
\text { where } \bar{X}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i, \bar{Y}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i, \
E\left(X_i Y_i\right)=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i Y_i \
E\left(X_i Y_j\right)=\frac{1}{N(N-1)} \sum_{i \neq j=1}^N \sum_{j=1}^N X_i Y_i
\end{gathered}
$$
Also,
$$
\begin{gathered}
\qquad \sum_{i=1}^N X_i \sum_{j=1}^N Y_j=\sum_{i=1}^N X_i Y_i+\sum_{i \neq j=1}^N \sum_{j=1}^N X_i Y_j \
\Rightarrow \sum_{i \neq j=1}^N \sum_{j=1}^N X_i Y_j=N^2 \bar{X} \bar{Y}-\sum_{i=1}^N X_i Y_i \
\text { where } \bar{X}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i, \bar{Y}=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N Y_i
\end{gathered}
$$
Then
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Cov}\left(\hat{X}{\text {tot }}, \hat{Y}{\text {tot }}\right) & =E\left[\left(\frac{N}{n}\right)^2 \sum_{i=1}^n X_i \sum_{i=1}^n Y_i\right]-N^2 \bar{X} \bar{Y} \
& =\left(\frac{N}{n}\right)^2\left[\sum_{i \neq j=1}^N \sum_{j=1}^N E\left(X_i Y_j\right)+\sum_{i \neq j=1}^N \sum_{j=1}^N X_i Y_i\right]-N^2 \bar{X} \bar{Y} \
& =\left(\frac{N}{n}\right)^2\left[\frac{n}{N} \sum_{i=1}^N X_i Y_i+\frac{n(n-1)}{N(N-1)} \sum_{i \neq j=1}^N \sum_{j=1}^N X_i Y_i\right]-N^2 \bar{X} \bar{Y} \
& =\left(\frac{N}{n}\right)^2\left[\frac{n}{N} \sum_{i=1}^N X_i Y_i+\frac{n(n-1)}{N(N-1)}\left(N^2 \bar{X} \bar{Y}-\sum_{j=1}^N X_i Y_i\right)\right]-N^2 \bar{X} \bar{Y} \
& =\left(\frac{N}{n}\right)^2\left[\left(\frac{n}{N}\right)\left(1-\frac{n(n-1)}{N(N-1)}\right) \sum_{i=1}^N X_i Y_i+\frac{n(n-1)}{N(N-1)} N^2 \bar{X} \bar{Y}\right]-N^2 \bar{X} \bar{Y} \
& =\frac{N^2(N-n)}{N n} \frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N\left(X_i-\bar{X}\right)\left(Y_i-\bar{Y}\right) \
& =\frac{N^2(N-n)}{N n} S_{X Y}
\end{aligned}
$$
where $S_{X Y}=\frac{1}{N-1}\left(X_i-\bar{X}\right)\left(Y_i-\bar{Y}\right)$.
Exercise 2 (Simple random sampling):
Under the simple random sampling without replacement, find $E\left(s_{x y}\right)$ where
$$
\begin{aligned}
& s_{x y}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{x}\right)\left(Y_i-\bar{y}\right) \
& \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, \bar{y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i .
\end{aligned}
$$
Solution:
Consider
$$
\begin{aligned}
s_{x y} & =\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{x}\right)\left(Y_i-\bar{y}\right) \
& =\frac{1}{n-1}\left[\sum_{i=1}^n X_i Y_i-n \overline{x y}\right] \
& =\frac{1}{n-1}\left[\sum_{i=1}^n X_i Y_i-\frac{n}{n^2}\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)\left(\sum_{i=1}^n y_i\right)\right] \
& =\frac{1}{n-1}\left[\sum_{i=1}^n X_i Y_i-\frac{1}{n}\left{\sum_{i=1}^n X_i Y_i+\sum_{i \neq j=1}^n \sum_{j=1}^n X_i Y_j\right}\right] \
& =\frac{1}{n-1}\left[\frac{n-1}{n} \sum_{i=1}^n X_i Y_i-\frac{1}{n} \sum_{i \neq j=1}^n \sum_{j=1}^n X_i Y_j\right] .
\end{aligned}
$$
$$
\text { Since } \begin{aligned}
& E\left(\sum_{i=1}^n X_i Y_i\right)=\frac{n}{N} \sum_{i=1}^N X_i Y_i \
& E\left(\sum_{i \neq j=1}^n \sum_{j=1}^n X_i Y_j\right)=\frac{n(n-1)}{N(N-1)} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n X_i Y_j .
\end{aligned}
$$
Thus
$$
\begin{aligned}
E\left(s_{x y}\right) & =\frac{1}{n-1}\left[\frac{n-1}{n} \frac{N}{N} \sum_{i=1}^N X_i Y_i-\frac{n(n-1)}{n N(N-1)} \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N X_i Y_j\right] \
& =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i Y_i-\frac{1}{N(N-1)} \sum_{i \neq j=1}^N \sum_{j=1}^N X_i Y_j \
& =\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N X_i Y_i-\frac{1}{N(N-1)}\left[N^2 \bar{X} \bar{Y}-\sum_{i=1}^N X_i Y_i\right] \
& =\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{N(N-1)}\right) \sum_{i=1}^N X_i Y_i-\left(\frac{N}{N-1}\right) \bar{X} \bar{Y} \
& =\frac{1}{N-1}\left[\sum_{i=1}^n X_i Y_i-N \bar{X} \bar{Y}\right] \
& =\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^N\left(X_i-\bar{X}\right)\left(Y_i-\bar{Y}\right) \
& =S_{X Y}
\end{aligned}
$$
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