Riemann surface
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贝叶斯分析的应用：探讨贝叶斯分析在各种实际问题中的应用，如统计决策、风险评估和预测建模等。
高级贝叶斯分析主题：包括贝叶斯层次模型、马尔科夫链蒙特卡洛方法和贝叶斯非参数方法等。
贝叶斯分析的软件工具：使用如R、Python、WinBUGS和Stan等工具进行贝叶斯分析的建模和推断。
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Exercise 1.1 Given a function $g$ on $\mathbb{R}$, state the two basic conditions for $g$ to be a probability density function (pdf) with respect to the Lebesgue measure. Recall the definition of the cumulative distribution function (cdf) associated with $g$ and that of the quantile function of $g$..
If $g$ is integrable with respect to the Lebesgue measure, $g$ is a pdf if and only if
$g$ is non-negative, $g(x) \geq 0$
$g$ integrates to 1 ,
$$
\int_{\mathbb{R}} g(x) \mathrm{d} x=1
$$
Exercise 1.2 If $\left(x_1, x_2\right)$ is a normal $\mathcal{N}_2\left(\left(\mu_1, \mu_2\right), \Sigma\right)$ random vector, with
$$
\Sigma=\left(\begin{array}{cc}
\sigma^2 & \omega \sigma \tau \
\omega \sigma \tau & \tau^2
\end{array}\right),
$$
recall the conditions on $(\omega, \sigma, \tau)$ for $\Sigma$ to be a (nonsingular) covariance matrix. Under those conditions, derive the conditional distribution of $x_2$ given $x_1$.
The matrix $\Sigma$ is a covariance matrix if
$\Sigma$ is symmetric and this is the case;
$\Sigma$ is semi-definite positive, i.e. , for every $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2, \mathbf{x}^{\top} \Sigma \mathbf{x} \geq 0$, or, for every $\left(x_1, x_2\right)$,
$$
\sigma^2 x_1^2+2 \omega \sigma \tau x_1 x_2+\tau^2 x_2^2=\left(\sigma x_1+\omega \tau x_2\right)^2+\tau^2 x_2^2\left(1-\omega^2\right) \geq 0 .
$$
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