Riemann surface
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无需担心！我们的数值分析专家团队将专业地解决您在数值分析学习中遇到的所有挑战。我们拥有广泛的专业知识和丰富的经验，可以协助您完成高水平的作业和论文，确保您在学习道路上顺利前行！
以下是一些我们可以帮助您解决的问题：
数值分析基础概念：涵盖误差、逼近、稳定性等各种常用数值分析概念的定义、性质和分类。
数值方法：研究和应用于插值、微分、积分、方程求解等的数值方法。
证明与推理：常见的证明技巧和推理方法，如直接证明、归纳证明、反证法等。
数值算法：数值分析在算法设计和分析中的应用，包括迭代算法、优化算法等。
误差和稳定性：介绍数值分析中的误差分析和算法稳定性。
数值优化：针对数值问题的建模和优化问题，例如非线性优化、线性优化等。
数值分析与实际应用：介绍数值分析在科学和工程中的应用，例如流体动力学、结构分析、数据分析等。
无论您面临的数值分析问题是什么，我们都会竭尽全力提供专业的帮助，确保您的学习之旅顺利无阻！
Problem 19. Consider the points $\left{x_0=\frac{\pi}{2}, x_1=\frac{3 \pi}{4}\right}$ in $[0, \pi]$. What should $\left{A_0, A_1\right}$ be so that the estimate $\int_0^\pi f(x) d x \approx A_0 \cdot f\left(x_0\right)+A_1 \cdot f\left(x_1\right)$ is exact for $f(x)$ all polynomials of degree $k \leq 1$ ?
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Solution. Let let $f(x)$ be a function on $[0, \pi]$. Then the estimate will be $\int_0^\pi p(x) d x$ where $p(x)$ is the Lagrange polynomial which is $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ at $\frac{\pi}{2}$ and $f\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$ at $\frac{3 \pi}{4}$. Now $p(x)=f\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot p_0(x)+f\left(\frac{3 \pi}{4}\right) \cdot p_1(x)$ where $p_0(x)=\frac{\left(x-\frac{3 \pi}{4}\right)}{\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3 \pi}{4}\right)}$ and $p_1(x)=\frac{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)}{\left(\frac{3 \pi}{4}-\frac{\pi}{2}\right)}$. Now $\int_0^\pi p(x) d x=\int_0^\pi\left(f\left(\frac{\pi}{2}\right) \cdot p_0(x)+f\left(\frac{3 \pi}{4}\right) \cdot p_1(x)\right) d x$. This shows that $A_0=\int_0^\pi p_0(x) d x$ and $A_1=\int_0^\pi p_1(x) d x$. Thus, $A_0=\pi$ and $A_1=0$.
Problem 21. Determine the coefficients to compute the first derivative of $f(x)=\sin \left(x^2\right)$ at $a=2$ using the points ${a-2 h, a-h, a, a+h, a+2 h}$. Give the estimate of the derivative as a function of $h$. Determine the best value of $h$ for the greatest accuracy of the answer. How many digits accuracy can you expect with this choice of $h$ ?
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