Riemann surface
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还在面临数学物理方法的学习挑战吗?别担心!我们的mathematical-physics-methods团队专业为您解决各种与数学物理方法相关的问题。我们拥有深厚的专业背景和丰富的经验,能够帮助您完成高水平的作业和论文,让您的学习之路一帆风顺!

以下是一些我们可以帮助您解决的问题:

数学物理方法基础概念:涵盖各种常用的数学物理方法概念的定义、性质和分类,如微分方程、特殊函数、变分原理等。

数学物理模型:研究和应用于数学物理领域的模型和理论,如量子力学、统计物理、场论等。

数学物理方程求解:解析和数值求解数学物理方程的方法,如分离变量法、级数展开、有限元方法等。

数学物理优化问题:建模和求解与数学物理相关的优化问题,如最小化能量、最大化效率等。

数学物理计算方法:介绍数学物理方法在计算科学中的应用,如数值计算、数值优化等。

数学物理与量子力学:探讨数学物理方法在量子力学中的应用,如哈密顿算符、本征值问题等。

数学物理与统计物理:介绍数学物理方法在统计物理中的应用,如配分函数、统计力学等。

无论您面临的数学物理方法问题是什么,我们都会竭尽全力提供专业的帮助,确保您的学习之旅顺利无阻!

问题 1.

Consider a force field $\vec{F}(x, y)=-y \vec{i}+x \vec{j}$ in the plane and a curve $\mathcal{C}$ given by $x(t)=a \cos (t)$ and $y(t)=b \sin (t)$ with $0 \leq t \leq \pi$ and positive constants $a$ and $b$.

Compute $\int_{\mathcal{C}} \vec{F} \cdot d \vec{r}$ using the definition of the line integral. Does $\vec{F}$ have a potential?

Let a different force field be given by $\vec{G}=2 x y \vec{i}+\left(x^2-y^2\right) \vec{j}$. Does $\vec{G}$ have a potential? If yes, find the potential of $\vec{G}$.

Calculate $W=\int_\gamma \vec{G} \cdot d \vec{r}$ where $\gamma$ is the semi-circle connecting the points $(0,-1)$ and $(0,1)$. Use again the definition of the line integral.

Calculate $W$ again by using a line integral connecting the above points. Can you think of a third way to get $W$ easily?


问题 2.

Find the Laurent series for the following function
$$
f(z)=\frac{1}{z^2-(2+i) z+2 i}
$$

The complex Bessel function $J_n(z)$ of order $n$ can be defined for an integer $n$ by
$$
\mathrm{e}^{z(w-1 / w) / 2}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_n(z) w^n
$$
Hence, $J_n(z)$ is the coefficient of $w_n$ in the Laurent series of $\exp (z(w-1 / w) / 2)$, as a function of $w$, about 0 .
(a) Use the integral formula for Laurent coefficients to show that
$$
J_n(z)=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi \cos (n \theta-z \sin \theta) d \theta
$$
(b) Write
$$
\mathrm{e}^{z(w-1 / w) / 2}=\mathrm{e}^{z w / 2} \mathrm{e}^{-z /(2 w)}
$$
and multiply the series expansions of these function about 0 to obtain
$$
J_n(z)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k \frac{1}{k !(n+k) !}\left(\frac{z}{2}\right)^{n+2 k}
$$

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