Riemann surface
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无需担心！我们的有限元方法专家团队将专业地解决您在有限元方法学习中遇到的所有挑战。我们拥有广泛的专业知识和丰富的经验，可以协助您完成高水平的作业和论文，确保您在学习道路上顺利前行！
以下是一些我们可以帮助您解决的问题：
有限元基础概念：涵盖元素、节点、形状函数等有限元方法的基本概念的定义、性质和分类。
有限元离散化：研究和应用于一维、二维、三维问题的有限元离散化方法。
证明与推理：常见的证明技巧和推理方法，如直接证明、归纳证明、反证法等。
有限元算法：有限元方法在算法设计和分析中的应用，包括元素装配、求解线性系统、后处理等。
误差和收敛：介绍有限元方法中的误差估计和收敛性分析。
有限元优化：针对有限元问题的建模和优化问题，例如网格优化、自适应有限元方法等。
有限元方法与工程应用：介绍有限元方法在各类工程领域的应用，例如结构分析、流体动力学、热传导等。
无论您面临的有限元方法问题是什么，我们都会竭尽全力提供专业的帮助，确保您的学习之旅顺利无阻！
Problem 1.2: A cylindrical storage tank of diameter $D$ contains a liquid at depth (or head) $h(x, t)$. Liquid is supplied to the tank at a rate of $q_i\left(\mathrm{~m}^3 /\right.$ day) and drained at a rate of $q_0\left(\mathrm{~m}^3 /\right.$ day). Use the principle of conservation of mass to arrive at the governing equation of the flow problem.
.
Solution: The conservation of mass requires time rate of change in mass = mass inflow – mass outflow
The above equation for the problem at hand becomes
$$
\frac{d}{d t}(\rho A h)=\rho q_i-\rho q_0 \quad \text { or } \quad \frac{d(A h)}{d t}=q_i-q_0
$$
where $A$ is the area of cross section of the tank $\left(A=\pi D^2 / 4\right)$ and $\rho$ is the mass density of the liquid.
Problem 1.3: Consider the simple pendulum of Example 1.3.1. Write a computer program to numerically solve the nonlinear equation (1.2.3) using the Euler method. Tabulate the numerical results for two different time steps $\Delta t=0.05$ and $\Delta t=0.025$ along with the exact linear solution.
Solution: In order to use the finite difference scheme of Eq. (1.3.3), we rewrite (1.2.3) as a pair of first-order equations
$$
\frac{d \theta}{d t}=v, \quad \frac{d v}{d t}=-\lambda^2 \sin \theta
$$
Applying the scheme of Eq. (1.3.3) to the two equations at hand, we obtain
$$
\theta_{i+1}=\theta_i+\Delta t v_i ; \quad v_{i+1}=v_i-\Delta t \lambda^2 \sin \theta_i
$$
The above equations can be programmed to solve for $\left(\theta_i, v_i\right)$. Table P1.3 contains representative numerical results.
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