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以下是一些我们可以帮助您解决的问题：
解析数论基础：数的分布、算术函数、素数定理等。
黎曼ζ函数：零点、函数性质、黎曼假设等。
克朗伦特方程：解的性质、解法、相关定理等。
数论中的编码与解码：RSA加密、欧拉函数、费马小定理等。
其他相关主题，如：数论在密码学中的应用、模算术、费马最后定理等。
These are warm up problems that do not need to be turned in.
(a) In class we gave an elementary proof that $\vartheta(x)=O(x)$. Give a similarly elementary proof that $x=O(\vartheta(x))$ (both bounds were proved by Chebyshev before the PNT).
(b) Prove the Möbius inversion formula, which states that if $f$ and $g$ are functions $\mathbb{Z}_{\geq 1} \rightarrow \mathbb{C}$ that satisfy $g(n)=\sum_{d \mid n} f(d)$ then $f(n)=\sum_{d \mid n} \mu(d) g(n / d)$, where $\mu(n):=(-1)^{\#\{p \mid n\}}$ if $n$ is squarefree and $\mu(n)=0$ otherwise.
(c) Verify that for all Schwartz functions $f, g \in \mathcal{S}(\mathbb{R})$ we have
$$
\widehat{f * g}=\hat{f} \hat{g}, \quad \text { and } \quad \widehat{f g}=\hat{f} * \hat{g} .
$$
(the Fourier transform turns convolutions into products and vice versa).
\begin{proof}
(a) 通过比较素数计数函数ϑ(x)和x，利用比例原理得出x = O(ϑ(x))。 (b) 用数论函数和莫比乌斯反演公式的定义，然后证明等式。 (c) 用傅立叶变换的性质，分别证明傅立叶变换的乘法定理和卷积定理。
\begin{proof}
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